Parameter-Darstellung

Parameter-Darstellung

Zielgruppe sind StudentInnen und ambitionierte Informatik-Amateure

Grundkenntnisse der Informatik und der Tabellen-Kalkulation werden vorausgesetzt.


Darstellung und Berechnung



Die Berechnung von y ist für gegebene Werte von -r..x..+r möglich.
Die quadratische Gleichung liefert entweder 0 oder 1 oder 2 Lösungen.
Die berechneten Punkte der (Halb)-Kreislinie liegen allerdings unterschiedlich weit voneinander entfernt.
Diese Formeln sind zur praktischen Berechnung weniger gut geeignet.


Diese Formeln werden für die Tabellen-Kalkulation bevorzugt:
Der Radius r wird in einer einzelnen Zelle als Konstante vorgegeben.
Der Winkel φ ist variabel: Für jeden Winkel kann man die XY-Koordinaten von genau 1 Punkt der Kreislinie berechnen.
Die Funktions-Linie ergibt sich, indem man die Rechnung für viele verschiedene Werte von φ ausführt: Das kann man mit Tabellen-Kalkulation besonders gut programmieren.






Für die Tabellen-Kalkulation muss man daher eine Aufgabe so lösen, dass dabei XY-Koordinaten berechnet werden. Diese Einschränkung bestimmt die Auswahl der Methode, d.h. eine bestimmte Form der Parameter-Darstellung.

Kenntnisse der Analytischen Geometrie helfen sehr bei der Lösung solcher Aufgaben ( Formel-Sammlung, WikiBook)

Andere Programme, die auf technische bzw. mathematische Berechnung spezialisiert sind (z.B. Geogebra), bieten wesentlich mehr Diagramm-Typen, z.B. mit (für einen Kreis besonders praktischen) → Polar-Koordinaten. Mit solchen Programmen kann man auch andere Formeln zur Berechnung der gleichen Aufgaben verwenden.


Vorgabe-Bereich

Man programmiert an einer gut sichtbaren Stelle (z.B. links oben) einen Bereich von Zellen, in die man die Zahlenwerte aller Vorgabe-Variablen manuell eintragen kann.

In den hier vorgestellten Beispielen sind für alle Variablen einfache Anfangs-(Zahlen)-Werte angegeben. Es ist empfehlenswert, nach der Programmierung mit den Werten zu experimentieren: So findet man heraus, wie sich die jeweiligen Variablen auf die dargestellte Funktion auswirken.


Genau 1 Variable wird nicht manuell sondern vom Programm variiert:
Sie erhält viele (typisch 100) verschiedene Werte, die normalerweise in einer Spalte angeordnet sind.

Beispiel Kreis:
Die Variable φ (Winkel) wird variiert. Der sinnvolle Bereich wird so angegeben:
0..φ..2Pi

Die Funktion wird mit den manuell einstellbaren Vorgaben und mit jedem vom Programm variierten Wert 1mal berechnet:
So werden viele (typisch 100) verschiedene Punkte der Funktion einzeln berechnet.



Verwenden sie für die Beispiele (und für fast alle anderen technischen oder naturwissenschaftlichen Darstellungen) nur den Diagramm-Typ XY-Diagramm (Punkt-Diagramm, Streu-Diagramm, ...)
Verwenden sie nicht den Typ Linien-Diagramm !

Verwenden sie anfangs jenen Sub-Typ, der sowohl Punkte als auch Verbindungs-Linien anzeigt: Man kann Punkte oder Linien später viel leichter entfernen als neu hinzufügen.

Gradmaß und Bogenmaß


Für die interne Rechnung wird in der Informatik ausnahmslos das Bogenmaß verwendet.

Wenig erfahrene EntwicklerInnen rechnen manchmal irrtümlich mit dem Gradmaß. In diesem Fall treten schwer auffindbare Fehler auf.
Wenn eine Formel offenbar richtig programmiert ist und trotzdem falsche Ergebnisse berechnet, dann liegt der Verdacht vor, dass eine Variable im Gradmaß verwendet wird.


Bogenmaß

Ein voller Kreis reicht vom Winkel φ=0 bis zum Winkel φ=2Pi (Zahlenwert 6.28318530717959...)
Für dieses Maß wird entweder rad oder gar keine Einheit angegeben. Letzteres führt oft zu Missverständnissen. Daher wird empfohlen, im Zweifel das Wort rad als Einheit anzugeben.
Die Kreiszahl Pi wird hier meist mit ihrem Namen angegeben, weil das griechische Zeichen π je nach der von ihrem Browser verwendeten → Schrift-Familie manchmal mit dem lateinischen Buchstaben n verwechselt wird.


Tabellen-Kalkulation

Nehmen sie an, dass sich in Zelle B1 ein Wert im Gradmaß befindet, z.B.
B1=45
Umrechnung des Winkels in das Bogenmaß (Alternative Formeln):
B2 = B1*PI()/180
C2 = GRAD(B1)
Weitere Umrechnung in das Gradmaß:
B3 = B2*180/PI()
C3 = BOGENMASS(C2)
Geben sie die Kreiszahl Pi niemals als Zahlenwert an, sondern immer mit der Funktion =PI() und vergessen sie bei der Programmierung nicht die (leeren) Klammern nach dem Funktions-Namen.



Es gibt jedoch auch periodische Funktionen, deren Ergebnis sich erst dann wiederholt, wenn eines oder mehrere ihrer Argumente mehrere volle Kreise durchlaufen haben.

Daher ist es oft sinnvoll, Winkel nicht nur im Bereich 0..φ..2Pi zu untersuchen, sondern auch negative Winkel und φ>2Pi

Programmier-Fehler


Gradmaß

Zur internen Rechnung mit Winkeln wird in der Informatik stets das Bogenmaß verwendet. Das Gradmaß wird nur zur Eingabe der Vorgaben und zur Ausgabe von Ergebnissen verwendet.

Zahlenformat

Lassen sie sich nicht täuschen, wenn in manchen Zellen scheinbar exotische Zahlenwerte berechnet werden: Eine Tabellen-Kalkulation rechnet (höchstens) auf ca. 16 Stellen genau. Wenn in einer Zelle Werte wie 1,234E-16 angezeigt werden, dann sollte darin wahrscheinlich der Wert =0 berechnet werden. In anderer Darstellung bedeutet das
1.23E-16 = 0.000000000000000123
Der kleine Fehler spielt in der Praxis meist keine Rolle: Man kann ihn verstecken, wenn man die Zellen mit Menü-Befehl Format auf einige Stellen genau anzeigt.
Details zur → Grenze der Genauigkeit

Diagramm

Ein neues Diagramm wird immer aus jenen Zellen erzeugt, die gerade markiert sind. Man muss daher zuerst die beiden Spalten mit den berechneten Werten für x und y markieren und danach ein neues Diagramm herstellen.

Verwenden sie für mathematische, technische oder naturwissenschaftliche Aufgaben im Zweifel nur den Diagramm-Typ XY-Diagramm, keinesfalls jedoch den Typ Linien-Diagramm.

Experimente


Fortgeschrittene AnwenderInnen ergänzen die rohe Berechnung mit diesen Maßnahmen:

Ein gutes User-Interface zeigt übersichtlich, unmissverständlich und kommentiert (nur) alle notwenigen Elemente (Vorgaben, Bedienung, Ergebnisse).
Neben-Rechnungen sind sichtbar, jedoch deutlich (nur für Interessierte AnwenderInnen) abgesetzt.
Ein Diagramm der berechneten Funktion ist selbstverständlich, die Angabe der verwendeten Formeln in sauberem → Formel-Satz wünschenswert.

Die Programmierung wird gegen Fehl-Bedienung abgesichert. Analoge Werte werden mit → SchiebeReglern eingegeben, der erlaubte Werte-Bereich von Eingabe-Feldern wird begrenzt, Formeln werden angezeigt, jedoch gegen Änderung gesperrt.

Wenn der eingegebene Wert einer Variablen vom Programm abgelehnt wird, dann muss man das (in einem passenden Kommentar) erklären und den zulässigen Bereich angeben.



Empfohlene (Anfangs)-Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
b = -2
c = 3
d = -4
-2..x..+2



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
λ = 0.5
ω = 2*Pi
φ = 0
0..t..2



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
μ = 0
σ = 1
-3..x..+3



Empfohlene (Anfangs)-Vorgaben für die Programmierung:
r = 1
0..φ..2Pi
Wikipedia:  Kreis
Live-Beispiel → Kreis



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 2
b = 1
0..φ..2Pi
Live-Beispiel → Ellipse



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
b = 2
0..φ..2Pi
Live-Beispiel → Cassini-Funktion



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1.05
c = 1
-1.5..x..+1.5
Beginnen sie mit -1..x..+1 und vergrößern sie erst danach den X-Bereich.
Live-Beispiel → Cassini-Funktion



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
Amplituden der beiden Schwingungen (Einheit variabel, z.B. als Spannung in V):
a1 = a2 = 1
Frequenzen (in Hz):
f[1] = 1
f[2] = 2
Phasenwinkel (im ↑ Bogenmaß):
φ[1] = 0
φ[2]= Pi/3
Die Frequenz wird zunächst in jene Variable (Kreisfrequenz ω) umgerechnet, die man für die Parameter-Formeln braucht:
ω = 2 * Pi * f
Bei Lissajous-Figuren ist es sinnvoll, die Zeit t so lange zu variieren, bis mehrere Perioden der beiden Schwingungen durchlaufen sind, z.B.
0..t..6Pi


Empfohlene Vorgaben für die Programmierung (beide als Länge, z.B. in m):
r = c = 1
Als variable Vorgabe lässt man den Dreh-Winkel des Rades entweder 1 oder 2 volle Kreise ausführen:
0..φ..2Pi
0..φ..4Pi
Live-Beispiel → Zykloide

Fortgeschrittene Entwicklerinnen verwenden als Vorgaben den Rad-Durchmesser in Zoll und die Geschwindigkeit in km/h und berechnen daraus die Bahn einer Schraube oder eines Ventils für eine bestimmte Fahrzeit, z.B. für 1 Sekunde.



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
b = 2
Wenn a=1 und b=1,2,3,.. dann trifft das bewegliche Rad nach jedem vollen Kreis genau auf seinen Startpunkt. In diesem Fall variiert man
0..φ..2Pi

In jedem anderen Fall ergeben sich kompliziertere Funktionslinien, und man braucht zur Darstellung wesentlich mehr berechnete Punkte. In diesem Fall variiert man z.B.
0..φ..10Pi



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
Die Werte sollten anfangs im Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen, z.B.
a = 1
b = 3
c = 2
Wenn c<a dann entsteht eine Wellenlinie.
Wenn c=a dann erzeugt die Funktion 'Blütenblätter'
Wenn c>a dann entstehen Schlingen.
0..φ..10Pi
Wenn b/a nicht in einem einfachen Verhältnis stehen, dann ergeben können sich interessante Muster ergeben, z.B. mit
a=1,  b=3.1  c=1.5



Diese Vorgaben erzeugen jenes Diagramm, welches dem Adobe PDF-Logo als Vorlage dient:
a = 1
b = 3
c = 1.5
Unabhängig davon wird empfohlen:
0..φ..10Pi



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
0..φ..2Pi
Die Form ist vorgegeben, mit a wird lediglich die Größe der Figur eingestellt.

Die ↑ Innenkreis-Trochoide bietet wesentlich mehr Möglichkeiten zur Gestaltung, z.B. 'Karos' mit beliebig vielen Zipfeln
a=1,  c=1
b=3, 4, 5, 6, ...



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
0..φ..2Pi

Die ↑ Außenkreis-Trochoide bietet wesentlich mehr Möglichkeiten zur Gestaltung, z.B. 'Blüten' mit beliebig vielen 'Blättern':
a=1,  c=1
b=1, 2, 3, 4, 5, ...

(Ähnliches) Live-Beispiel → Cardioide aus Polygon-Sehnen



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
-3Pi..φ..3Pi



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
0..φ..10Pi
Tipp: Die Formeln lassen sich auch auf negative Winkel anwenden.
Live-Beispiele: → Archimedische Spirale in Parameter-Darstellung, → Pixel-Grafik mit Canvas



Diese Spirale windet sich von außen nach innen.
Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
Pi/6..φ..6Pi



Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1/4
b = 1
0..φ..4Pi


Klothoide

Parameter-Formeln für eine Klothoide: Die Berechnung erfolgt mit Reihen-Entwicklung:
t = b2/(2a2)
x = b * Σ(k=0→)[ (-1)k * t(2k)/((2k)! * (4k+1)) ]
y = b * Σ(k=0→)[ (-1)k * t(2k+1)/((2k+1)! * (4k+3)) ]
Empfohlene Vorgaben für die Programmierung:
a = 1
b = -3..b..+3

An diesem Beispiel wird demonstriert:
Mit den Standard-Methoden der Tabellen-Kalkulation allein ist die Rechnung auch für fortgeschrittene EntwicklerInnen außerordentlich schwierig und aufwändig.
In diesem Fall ist es sinnvoll, zur Berechnung eine Hilfs-Funktion (in der Programmiersprache Basic) zu verwenden. Damit können auch wenig erfahrene AnwenderInnen problemlos eine Klothoide berechnen.

Details und Live-Beispiel → Klothoide