Fraktale

Fraktale

Zielgruppe sind StudentInnen und ambitionierte Informatik-Amateure

Grundkenntnisse von Mathematik, Geometrie und Informatik sind vorteilhaft.



Fraktal-Beispiele


Koch-Linie

Die 3 Grund-Elemente sind Linien, die in den Winkeln von 0°, +60° und -60° gedreht sind und ein gleichseitiges Dreieck bilden.
In der nächsten Generation wird die jede Linie durch 4 neue Linien ersetzt, die jeweils 1/3 der ursprünglichen Länge haben. Die beiden mittleren Linien bilden eine 'vorspringende Ecke'.
Diese Transformation wird hier auf insgesamt 4 Generationen angewendet. Dabei werden aus den ursprünglich 3 Linien 3*44=768 Linien.
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Sierpiński-Dreieck

Das Grund-Element ist ein gleichseitiges Dreieck.
Es wird so geteilt, dass sich 4 gleiche Teil-Dreiecke ergeben.
Die nächste Generation besteht aus jenen 3 Elementen, die halb so groß und zu den jeweiligen Eckpunkten verschoben sind.
Diese Transformation wird hier auf insgesamt 5 Generationen angewendet. Dabei werden aus dem ersten gelben Dreieck 35=243 gelbe Dreiecke.
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Details zum → Sierpiński-Dreieck

Pythagoras-Baum

Das Grund-Element ist ein Quadrat mit einem aufgesetzten rechtwinkeligen Dreieck.
In der nächsten Generation wird das Grund-Element verkleinert und auf jede der beiden freien Seiten des Dreiecks aufgesetzt.
Diese Transformation wird hier auf insgesamt 10 Generationen angewendet. Dabei werden aus dem 1 Grund-Element insgesamt 210-1=1023 Elemente.
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Fraktal-Algorithmen


Jedes Fraktal-Beispiel besteht aus einem Grund-Element und einer Vorschrift (Algorithmus), die angibt, wie das Element zu verändern ist, um die Elemente der nächsten Fraktal-Generation zu erhalten.



Die hier gezeigten Beispiele wurden mit einer Animation ausgestattet, welche den Übergang vom Grund-Element zu den ersten folgenden Generationen demonstriert.


Der individuelle Algorithmus jedes Fraktals bestimmt, wie das Grund-Element in die nächste Generation umzuwandeln ist.
Die Folge-Generation kann unterschiedlich viele Elemente enthalten, z.B. 2 (Pythagoras), 3 (Sierpiński) oder 4 (Koch).
In den meisten Fällen werden die folgenden Elemente um einen konstanten Faktor verkleinert, z.B. auf die Hälfte der vorigen Generation.
Zusätzlich werden oft weitere 'Transformationen' angewendet, z.B. Verschiebung in eine Richtung oder Drehung um einen Winkel.


Eine Verkleinerung oder Verschiebung wird daher nicht absolut definiert (z.B. um eine bestimmte Strecke) sondern relativ (um ein bestimmtes Verhältnis).

Winkel (Richtung, Drehung) werden meist unverändert beibehalten, jedoch immer vom jeweiligen Grund-Element aus gemessen - unabhängig davon, ob dieses selbst bereits gedreht wurde.


Details zu den Beispielen dieser Seite: Koch-Kurve, → Sierpiński-Dreieck, Pythagoras-Baum